Способ первый, через браузер

Этот способ наиболее простой и эффективный, так как Вы сможете читать всю самую свежую переписку абонента, в любой удобный для Вас момент. 

Для этого потребуется:

Компьютер с установленным браузером Google Chrome

Телефон абонента

10 секунд времени

Инструкция:

Зайдите на компьютере, в браузере Google Chrome, на сайт web.whatsapp.com

На телефоне человека, чью переписку собираетесь читать, зайдите в WhatsApp -> Чаты -> Меню -> WhatsApp Web

Наведите телефон на штрих-код, на экране компьютера, откроется окно чата, где можно будет читать всю переписку

Недостатки:

Абонент должен быть подключен к сети, что бы Вы могли читать сообщения, иначе Вы увидите такую надпись.

Любой пользователь всегда может посмотреть подключен ли Ватсап к компьютеру или нескольким и если он сам не подключал, то легко догадаться, что кто-то другой приложил к этому руку.

Не работает на iPhone

Второй способ, отправка переписки по почте
Этот способ подойдет, как для Android и Windows Phone, так и для iPhone.
Инструкция:

Откройте WhatsApp -> Чаты

Выберите интересующий Вас чат (на iPhone сдвиньте его влево и нажмите Еще, на Androin удерживайте нажатым пока не появится меню)

В меню выберите пункт "Отправить по E-mail" - для Айфона и Отправить по почте - для Андроида

Вы можете отправить только текст сообщений или включить в письмо и файлы из чата, но учтите, что в этом случае переписка может оказаться внушительного размера и ее отправка займет больше времени.

Откроется почта, с вложенным файлом переписки.

Оправьте на свой E-mail письмо с вложенным файлом с переписки.

Недостатки:

Невозможно прочитать новые сообщения.

Требуется много времени для отправки письма и заметания следов.

Необходим доступ в интернет.